Expeditus de prooemio venio modo ad ipsum tractatum digestum in xv. libros. Qui prima sui divisione secatur in quatuor partes, secundum quod quatuor principaliter facit. In prima enim parte, scilicet in primis quatuor libris, agitur de angulis et figuris. In g2 secunda, scilicet in quinque libris sequentibus, agitur de proportionibus in quantitate continua applicabiles ad quantitates discretas. Ex qua quidem parte vulgares omnes rationes numerorum sibi deduxerunt, puta multiplicare, dividere, et etiam ipsas

proportionalitates, quae apud ipsos regula trium numerorum dicitur. In tertia vero parte, scilicet in x. (omnium difficillima), in qua fiunt omnes resolutiones magnitudinum et sicut omnes artes resolvuntur in metaphysicam, quae est finis aliarum, quia tota nostra cognitio tendit in istum finem, scilicet in cognitionem Dei benedicti. Ita etiam in isto x. fiunt omnes resolutiones magnitudinum, quia quaerit radices et originem potentiae magnitudinis, quae apud vulgares dicitur algebra ^[98]. In quarta et ultima principaliter agitur de corporibus, quamvis intersectae sint quaedam speculationes figurarum: quia de longitudine, latitudine et capacitate ad prospectivam reducendo. Quae quidem non minus delectabilis est, quam utilis, quoniam bene theoricas vel ipsam artem speculativam ad praxim reducimus per doctrinam ipsius Geber. Per hanc enim solam rationem omnium visibilium quilibet reddere potest: sive ab arte, sive a natura sint, bene maleve operata sunt, quia naturam sicut et artem ipsam errare contingit secundo Physicorum. Naturam ex peccato alicuius principii intrinseci, artem vero ex defectu ipsius artificis male speculantis vel speculationis artem in actum exercitum et in ipsam operationem male reducentis. Quantum spectat ad primam partem, Euclides doctrinaliter procedens summa brevitate summaque arte, latenti tamen, hanc mirabilem scientiam nobis tradere studuit. Primo enim naturas et proprietates figurarum demonstrans a triangulo et non ab alia figura exordium sumpsit, tamquam a parente omnium figurarum; ex qua omnes componuntur et in quam omnes compositae resolvuntur, ut satis supra dictum est. Dixi: summa arte. Imitatus enim est ipsam naturam, in qua est dare primum et ultimum. Quia in essentialiter ordinatis non est procedere in infinitum, secundo Metaphysicae, et quamvis species rerum sint in quodam numero terminato,

nobis ignoto, non tamen sunt infinitae. Per Porphyrium in universalibus, sic etiam in figuris, est ordo essentialis. Ergo est dare primum et secundum. Et talis est triangulus, quia G3 primus in natura, et quadratum erit secundum. In secundo etiam noster Euclides est imitatus naturam et viam doctrinae, quia semper ea, quae sunt prius nota naturae et nobis, praeposuit et per ea demonstravit posterius nota naturae et nobis. Processit enim per demonstrationes simpliciter dantes simul esse et cognitionem, in quibus prius sunt nobis notae causae quam effectus, et hoc est proprium ipsis mathematicis, in quibus causae sunt prius notae nobis et naturae, quam ipsi effectus. Puta quod triangulus habet tres angulos aequales duobus rectis, quam quod eiusdem trianguli angulus extrinsecus aequivalet duobus angulis intrinsecis sibi oppositis (ut in primo Euclidis). In quam quidem speculationem, artem et modum procedendi ipsius Euclidis video certe multos errare. Imo Simplicius in suis praedicamentis vera dixit, scilicet Aristotelem, quamvis in naturalibus fuerit regula in natura, in mathematicis parum scivisse, imo in ista doctrina graviter errasse. Quia in capitulo xix. primi Priorum analyticorum ^[99] non imitatus naturam neque istam artem latentem, artificiosam tamen: de aequicruri probavit magis nota per minus nota, quia per propositiones posteriores ipsius Euclidis et etiam posteriores ipsa natura. Ex quo inferebat Simplicius Aristotelem multo inferiorem mathematicum quam naturalem philosophum extitisse. De quo etiam inferri possum eundem in cognitione astronomica multo inferiorem extitisse. In xiii. enim Metaphysicae circa finem adducit auctoritatem Eudoxi et Calipi in motibus orbium caelestium, affirmans melius esse scire, quod illi dicunt quam nihil scire, credendum enim est unicuique in arte propria. Et etiam de ipso idem dicere possum: cum in

libello De bona fortuna, quid nam sit bona fortuna et hominem esse bene et male fortunatum, certe satis diminute imo nihil dixit. Quia si astrologiam calluisset, certe tutius illam materiam determinasset. Cum astrologus haec per se consideret, ut supra demonstravimus, cum de excellentia astrologiae disputaverimus. Primum theorema Euclidis Triangulum aequilaterum super datam lineam rectam collocare. Sensus huius propositionis est, quod collocabilitas trianguli est g3 demonstrabilis super quamcumque lineam rectam datam. Et per ly collocabilitas trianguli aequilateri est propria passio ipsius lineae datae, et per ly demonstrabilis intelligo demonstrationem potissimam dantem esse passionis simul et cognitionis, quamvis nullum expositorum huius artis videam non tantum demonstratione potissima aliquam propositionem demonstrasse, verum etiam neque formam syllogisticam servasse, discurrentibus nobis per omnes ipsorum codices et commentaria. Ex quo omnes contingit dubitare, et de facto dubitant: non solum sublimes philosophi, verum etiam omnes nostrae aetatis mathematici, scilicet quomodo propositio Philosophi secundo Metaphysicae habet veritatem, scilicet quod mathematicae sunt in primo gradu certitudinis et hoc solum propterea, quia solis mathematicis est demonstrare a priori, dico a priori, demonstratione potissima, et tamen illis nihil est demonstratum. Ego vero, non quia natus sum omnibus contradicere et quod nullum praecipuum mihi habere velim, sed certe, quia compatior huius scientiae, sine qua non contingit quempiam recte philosophari neque aliquid perfecte scire (ut in nostra oratione demonstravimus), et tamen supina iacet culpa illorum, qui se in ea intromittunt absque cognitione dialectica et physica, sine quibus, si quid sciunt, nesciunt se

scire. Ideo hanc lecturam vel expositionem in Elementa Euclidis nostro modo exponemus, numquam a sensatis rationibus et veris demonstrationibus per apicem recedendo. Sit itaque linea data a.b. tunc arguo sic. A quocumque puncto ducendae sunt duae lineae rectae ad quamcumque lineam rectam triangulum aequilaterum collocantes. Sed super datam rectam lineam a.b. puncto extra signato ducendae sunt duae lineae rectae: ergo super datam rectam lineam a.b. triangulum aequilaterum collocare, quod a quolibet puncto extra lineam signato lineae duci possunt, patet per dignitatem vel petitionem primam. Quod autem tales lineae sint aequales patet, si super lineam a.b. datam intersecentur duo circuli in puncto d. per doctrinam Campani in prima propositione primi huius: et prosyllogizo sic: lineae ductae a centro ad circumferentiam sunt aequales. Sed lineae a.d.a.b. et b.d. sunt lineae ductae a centro ad circumferentiam, ergo sunt aequales. Tunc G4 ultra: omnis triangulus habens duo latera tertio aequalia est aequilaterus. Sed triangulus a.b.d. super datam lineam a. b. constitutus est habens duo latera tertio aequalia scilicet ipsi a.b., ergo est aequilaterus. Et sic habetur intentum demonstratione convenienti huic scientiae contra omnes calumniatores. Sed aliquis posset quaerere: quomodo istae demonstrationes mathematicae sunt dantes simul esse passionis et cognitionis? Dico, quod medium huius demonstrationis est aequalitas linearum a centro ad circumferentiam, quae est una dignitas huius artis, quae cognitis terminis cognoscitur primo Posteriorum textu commenti vi. Unde non prius mihi innotescit aequalitas huius trianguli, quam sit ostensum, quod omnes tres lineae a centro ad circumferentiam exeunt. Quo cognito simul cognosco passionem et esse passionis, id est ipsam inhaerentiam passionis in subiecto, quae demonstratio potissima dicitur. Dubitatur contra ea quae supra dixi: ponendo intellectum

primae propositionis, scilicet quod vult probare triangulum posse collocari super datam rectam lineam, tamquam passionem ipsius lineae; et arguitur sic: nulla species disparata ¹⁰⁰ cum alia specie potest esse eius passio. Sed triangulus et linea sunt duae species disparatae ¹⁰¹. Ergo triangulus non potest esse passio lineae. Maior patet. Minor est Porphyrii in capitulo de specie, ubi dicit, quod triangulus est figurae species, linea vero recta, cum nullam superficiem claudere potest, figurae species esse non potest, quamvis Aristoteles primo Posteriorum textu commento 2. dicat, quod triangulus est passio lineae. Solutio: argumentum peccat per fallaciam aequivocationis. Quia neque Euclides, neque Aristoteles volunt, quod triangulus sit passio lineae, sed volunt, quod ipsa collocabilitas trianguli id est ipsa aptitudo lineae ad triangulum et ad omnes alias figuras super ipsam constituendas. Et sic cessat et dubium et contradictio Philosophi et Porphyrii et Euclidis. Primo notandum est, quod trianguli passio est habere tres angulos aequales duobus rectis, ut in xxxii. propositione primi huius. Quae propria passio est in actu et non in aptitudine, quamvis risibilitas, cum sit in actu, iam non est passio, sed accidens per actiones. Ex quo notandum est, quod quaedam passiones mathematicae sunt in actu et quaedam in potentia: g4 in actu (ut quod triangulus habet tres aequales duobus rectis) et quaedam in aptitudine (ut divisibilitas lineae in infinitum); quam infinitatem naturalis sponte repudiat. Haec tamen duplex natura dubium et contradictio Philosophi et Porphyrii et Euclidis. Primo notandum est, quod trianguli passio est habere tres angulos aequales duobus rectis, ut in xxxii. propositione primi huius. Quae propria passio est in actu et non in aptitudine, quamvis risibilitas, cum sit in actu, iam non est passio, sed accidens per actiones. Ex quo notandum est, quod quaedam passiones mathematicae sunt in actu et quaedam in potentia: g4 in actu (ut quod triangulus habet tres aequales duobus rectis) et quaedam in aptitudine (ut divisibilitas lineae in infinitum); quam infinitatem naturalis sponte repudiat. Haec tamen duplex natura passionum etiam in naturalibus reperta est, ut risibile in aptitudine, sed albedo cigni et nigredo corvi passiones sunt in actu. Quamvis Philosophus in post praedicamentis tangat hoc exemplificando de caliditate ignis et albedine nivis dicendo, quod quaedam sunt a natura sic datae

passiones et caetera. Tamen an hoc sit verum, scilicet quod albedo cigni et nigredo corvi sint propriae passiones ipsorum? Apud me non videtur esse verum. Propterea quia hominem bene possum intelligere, absque eo quod concipiam risibile, non tamen sine risibili vel sub opposito risibilitatis, puta rudibili. Et hoc est proprium ipsis passionibus ad differentiam ipsius quiditatis, sine qua illud cuius est quiditas non potest concipi, quia includitur in suo conceptu formali. Cignum tamen et ipsum corvum possum sine albedine et sub opposita ratione concipere: solvat Apollo. Secundo notandum est, quod cognita natura huius trianguli, certe facile cognoscemus et figuram syllogisticam et diffinitionem ipsius in primo Posteriorum. Quam (pace hoc dixerim) certe non video, qui eam intellexit. Quod bene intuentibus in ipsorum expositionibus clare innotescere potest. Tertio, ex cognitione huius trianguli omnibus innotescet totus processus Aristotelis et quo medio usus est in fabricando instrumentum syllogisticum, sine quo non continget quemquam cognoscere se aliquid scire. Qua autem arte vel medio Aristoteles usus est? Dico, quod medio et arte geometrica, quia syllogismus est figura, quae figura trilatera. Figura autem et triangulus ad geometram et non ad alium artificem spectat. Quae omnia apparebunt ex ipsa diffinitione syllogismi in primo Priorum, si primo litteram ipsius diffinitionis corruptam vitio interpraetum vel impraessorum, bene legamus. Quae sic legi debet: Syllogismus est oratio, in qua positis quibusdam aliud (dicit) quidem appositis – legi debet sic aliud quoddam a iacentibus – ex necessitate contingit, eo quod haec sunt. Quae quidem diffinitio syllogismi est tota in terminis mathematicis: et nihil H1 aliud diffinit, nisi figuram triangularem, quae applicatur ad ipsum syllogismum. Pro cuius evidentia sciendum est, quod apud mathematicos termini ponuntur et magnitudines vel ipsa

intervalla (quae sunt inter terminos) iacere dicuntur. Quibus terminis mathematicis ipse Philosophus in hac diffinitione syllogismi (ut et ipsi geometrae) usus est. Dicit enim primo quibusdam positis, quia tribus terminis scilicet duobus extremis et uno medio: quia extrema mediata non possunt absque medio copulari. Deinde subdit necesse est a iacentibus, scilicet duobus intervallis: quorum unum erit ab uno extremo ad medium et aliud ab eodem medio ad aliud extremum. Deinde dicit: aliud quoddam evenire, scilicet tertium intervallum. Ex necessitate continget scilicet conclusio figurae et statim se declarat: scilicet nullo extrinsecus amplius termino adhibito scilicet ad hoc, ut figura sit et figura claudatur. Ita quod sensus erit iste: cum Philosophus velit instrumentum vel figuram syllogisticam venari vel fabricare: et figura cum nihil aliud sit nisi illa superficies clausa et terminata lineis rectis, ita quod duae lineae non claudunt figuram, sic etiam in proposito dicit Aristoteles, si ponantur tres termini a.b.c. puta in forma triangulari, et si ductae fuerint duae lineae a duobus terminis ab ipso b. in a. et ab ipso c. in b. erunt duae lineae, quae tamen non faciunt figuram. Et si voluerimus claudere figuram, certe poterimus absque hoc, quod ponamus alium terminum, puta quartum d., quia tertiam lineam ducere poterimus ab ipso c. in a., quae claudet figuram. Quae omnia sunt in syllogismo, quia tres termini sunt tres dictiones, puta animal rationale, risibile et homo. Duo intervalla vel duae lineae non claudentes figuram sunt, puta, duae praemissae vel duae propositiones, puta, omne animal rationale est risibile; omnis homo est animal rationale. Tertia linea vel intervallum claudens figuram est ipsa conclusio, scilicet ergo: omnis homo est risibilis. Sed quia positis duobus extremis terminis, medius terminus

copulans extrema tripliciter potest variari. Primo vel quod praecise sit in medio duplici mediatione, scilicet per aequidistantiam inter duo extrema. Secundo, ipso situ. Quam utramque mediationem Philosophus in capitulo iii. primi Priorum sub aliis verbis elegantissime expraessit, dum dixit: quando tres termini sic se h1 habuerint, quod medius terminus aequaliter participet utroque extremo, qui etiam positione sit medius, et quod non sit extra extremitates, id est quod sit in eadem linea recta cum duobus extremis. Et istam combinationem Aristoteles vocat figuram primam et perfectissimam. Secunda combinatio, vel medium variari potest, quando medium est positum supra extremitates: cum hoc etiam, quod tale medium magis participet maiori extremitate ita quod per has duas conditiones differt a prima figura et a tertia. Quae talis est scilicet quando medium est positum infra extremitates, magis tamen participans minori extremitate, quam maiori, scilicet opposito modo, quod in secunda figura medio accidit. Unde triplicem huiuscemodi combinationem sive medii variationem Philosophus tres figuras syllogizandi constituit, quamvis Avicenna quartam combinationem addere voluerit. Contra quem Averroem credo demonstrasse in capitulo v. primi Priorum, scilicet quod per illam quartam figuram committitur fallacia petitionis principii, quia per eam semper concluditur, puta quod aliqua substantia est homo, quia aliqua substantia est substantia. In qua quidem consequentia Averrois (propter sui difficultatem) omnes laborant. Ideo illam vobis modo deducam: figura quarta secundum Avicennam talis est, exempli gratia: Omnis homo est animal. Omne animal est substantia. Ergo aliqua substantia est homo. Modo probatur quod hoc dari non potest: et primo per regulam antepraedicamentalem, scilicet quando alterum de altero praedicatur

– ubi enim prima est Barbara. Haec est Barbara, scilicet quicquid praedicatur et caetera. Sed in conclusione homo praedicatur de substantia particulariter. Ergo quicquid praedicatur de homine, praedicatur de substantia. Sed animal praedicatur de homine, in maiori (ut patet), ergo animal praedicatur de substantia per regulam. Tunc ultra, animal praedicatur de substantia: ergo quicquid praedicatur de animali, praedicatur de substantia per regulam: sed ipsa substantia praedicatur de animali in minori, (ut patet): ergo substantia praedicatur de substantia: et sic aliqua substantia est homo: quia aliqua substantia est substantia: quod est in fine abominationis. Nunc modo liceat nobis iterum digredi circa Aristotelem de multis speculabilibus ad propositum tamen applicando. Primo enim quare Aristoteles in prima figura accepit tria elementa scilicet a.b.c., quae adinvicem sunt contigua, inter quae est H2 una vocalis tantum et reliquae consonantes. In secunda vero figura accepit tres consonantes et nullam vocalem, scilicet n.m.x. ita tamen, quod inter n. extremitatem maiorem et m. terminum medium nihil medium cadit, sed sunt contigua, et tamen inter x. et m. cadit medium. In tertia vero figura nullam etiam vocalem, sed omnes consonantes accepit, videlicet p.r.s. ita tamen, quod inter minorem extremitatem, videlicet s.r. non cadit aliquod elementum medium, et tamen inter maiorem extremitatem et medium terminum cadit. Pro solutione huius nostri problematis notandum est, quod Aristoteles fuit regula in natura et quamvis in multis celaverit artem (ut hic et in libris Peri hermeneias ¹⁰²), quam vobis una die reserabo; ubi est tota ars resolutoria et compositiva, sine qua non est scientia perfecta, sine qua etiam est negata abstractio quiditatis a quiditate usque ad ultimam quiditatem. Qua ignorata, si quid scimus, id certe confuse

scimus. Quare Aristoteles nihil sine forti ratione dixit, sed circa omnia fuit sollicitus. Primo enim quando accepit tria elementa, quorum vocalis erat unum, per hoc dedit intelligere figurae primae perfectionem, quia alpha Graece significat vitam, aliae duae figurae sunt sine alpha, id est sine vita. Ideo imperfectae quarum necessitas, id est perfectio et vita, non apparet, nisi prius ad primam reducantur. Per illud etiam, quando accepit tria elementa sibi contigua, significavit, quod in prima figura medium aequaliter participat utroque ¹⁰³ extremo, quia praedicatur et subiicitur ita, quod est medium situ et participatione. In secunda vero figura medium est foras vel supra extremitates, quia medium in secunda praedicatur tantum. Et per illud, quod dixit tale medium esse magis proximum maiori extremitati, significavit, quod tale medium habet naturam maioris extremitatis, quae semper praedicatur de subiecto et ut sic habet rationem formae. Sed quia et medium in hac figura praedicatur (quamvis non in conclusione), ideo habet naturam formae, quia, quod subiicitur, habet naturam materiae. In tertia vero figura, cum medium semper subiiciatur, ideo habet naturam et convenientiam et appropinquationem cum minori extremitate, quia utrumque subiicitur. Hoc Philosophus dedit intelligere per ea, quae dixit in capitulo v. primi Priorum. Quare concludamus, quod prima figura est tantum perfecta et nulla alia ratione praedicta, quae regulatur per dici de h2 omni et dici de nullo. Haec enim declarare volui, quia existimo fore utilia, imo necessaria ad intelligendam intentionem Philosophi in tota logica. Cuius solius est sciendi modum praebere nobis et defendere nos a malis in practicis et a falsis in speculativis.